Lista1_TCE_22025.qmd

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title: "Lista 1"
subtitle: "Geração de NPA’s (Números Pseudo-Aleatórios)"
author: 
  Carolina Musso
  251103768
date: today
institute: "Mestrado acadêmico em Estatística - UnB"
lang: pt
format: html
editor: source
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## Exercício 1) 
A distribuição Laplace padrão tem densidade
$f(x) = 12e^-{\lvert x \lvert}~x \in \mathbb{R}$
use o método da transformada inversa para gerar uma amostra aleatória de tamanho 1000 dessa distribuição (plote um histograma).

## Exercício 2) 

Dado a densidade $f(x|\theta)$ e a densidade a priori $\pi(\theta)$, se observamos $\textbf{x} = x_1, ..., x_n$, a distribuição a posteriori de $\theta$ é $\pi(\theta|\textbf{x}) = \pi(\theta|x_1, ..., x_n) \propto \prod f(x|\pi)\pi(\theta)$
em que $\prod f(x_i|\theta) = L(\theta|x_1,..., x_n)$ é a função de verossimilhança.

Para estimar uma média normal, uma priori robusta é a Cauchy. Para $X_i \sim N(\theta,1), \theta \sim Ca(0,1)$, a distribuição a posteriori é $\pi(\theta|\textbf{x})\propto\frac{1}{\pi}\frac{1}{1 + \theta^2}\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\prod_{i = 1}^ne^{-(x_i-\theta)^2/2}$
Seja $\theta = 3, n = 10$𝜃, e gere $X_1, ..., X_n ~N(\theta_0,1)$. Use o algoritmo da Aceitação-Rejeição com uma candidata Cauchy Ca(0,1)) para gerar uma amostra da distribuição a posteriori. Avalie quão bem o valor $\theta_0$é recuperado. Extenda o código de maneira que n = 10,25,50,100. Assuma que $M = L(\hat{\theta}|x_1, ..., x_n)$𝑀=𝐿(𝜃ˆ|𝑥1,…,𝑥𝑛), ou seja 𝑀 é a função de verossimilhança avaliada no estimador de máxima verossimilhança.

## Exercício 3) 
Gere 200 observações aleatórias de uma distribuição normal multivariada de dimensão 3 com vetor de médias $\mu = (0,1,2)^\top$ e matriz de covariância
$$
\Sigma = \begin{bmatrix}
    1.0 & -0.5 & 0.5 \\
    -0.5 & 1.0 & -0.5 \\
    0.5 & -0.5 & 1.0
\end{bmatrix}
$$


Use o método de decomposição de Cholesky.

## Exercício 4) 

Considere o artigo “Bivariate Birnbaum–Saunders distribution and associated inference” (Kundu et al., 2010), disponível em PDF, onde os autores apresentam uma formulação para a distribuição bivariada de Birnbaum–Saunders (BVBS). A geração de dados desta distribuição é descrita na equação (8) do artigo. Utilize a parametrização apresentada no artigo para simular 1.000 observações de um vetor aleatório bivariado $(T_1, T_2)$ com distribuição BVBS($\alpha_1 = 0.5, \alpha_2 = 0.5, \beta_1 = 1.0, \beta_2 = 2.0, \rho = 0.7$ 𝛽. Apresente um gráfico de dispersão dos dados gerados.