quiz.json

{
  "questions": [
    {
      "stage": "pre",
      "question": "相比特征分解，SVD 有什么优势？",
      "options": [
        "SVD 总是计算更快",
        "SVD 适用于任何形状的任意矩阵，而特征分解要求矩阵是方阵且具有完整的特征向量集",
        "SVD 产生更小的输出矩阵",
        "SVD 不需要数值计算"
      ],
      "correct": 1,
      "explanation": "特征分解只对具有 n 个线性无关特征向量的方阵有效。SVD 可以把任意 m x n 矩阵分解为 U * Sigma * V^T，对形状或秩没有任何限制。"
    },
    {
      "stage": "pre",
      "question": "“低秩近似”是什么意思？",
      "options": [
        "从矩阵中删除数值较低的行",
        "只保留矩阵最重要的成分来近似它，产生一个独立方向更少、更简单的矩阵",
        "把矩阵转换为更低精度的数据类型",
        "按大小对矩阵的行进行排序"
      ],
      "correct": 1,
      "explanation": "秩为 k 的近似只保留最大的 k 个奇异值及其对应向量，丢弃其余部分。Eckart-Young 定理证明这是该秩下可能的最佳近似。"
    },
    {
      "stage": "post",
      "question": "在 SVD A = U * Sigma * V^T 中，每个因子代表什么几何操作？",
      "options": [
        "U 缩放，Sigma 旋转，V^T 平移",
        "V^T 在输入空间中旋转，Sigma 沿主轴缩放，U 旋转进入输出空间",
        "U 压缩，Sigma 扩展，V^T 归一化",
        "三个因子执行相同的操作：旋转"
      ],
      "correct": 1,
      "explanation": "SVD 揭示了每个矩阵都执行：(1) V^T 旋转输入以对齐主方向，(2) Sigma 沿每个轴拉伸/压缩，(3) U 把结果旋转进入输出空间。即旋转、缩放、旋转。"
    },
    {
      "stage": "post",
      "question": "为什么 sklearn 用 SVD 而不是协方差矩阵的特征分解来实现 PCA？",
      "options": [
        "SVD 产生的不同结果对 ML 更准确",
        "SVD 直接作用于数据矩阵而无需构造协方差矩阵，避免了条件数被平方，从而提升数值稳定性",
        "SVD 更容易在 GPU 上并行化",
        "SVD 不需要对数据做中心化"
      ],
      "correct": 1,
      "explanation": "构造 A^T*A 会把奇异值（以及条件数）平方。如果 A 的奇异值为 [1000, 0.001]，A^T*A 的特征值就是 [10^6, 10^-6]——损失了 6 位精度。SVD 通过直接作用于 A 避免了这一问题。"
    },
    {
      "stage": "post",
      "question": "截断 SVD 如何使推荐系统能够预测缺失的评分？",
      "options": [
        "它用平均评分填补缺失项",
        "它把评分矩阵分解为用户和电影的潜在画像；某用户画像与某电影画像的点积就可预测缺失的评分",
        "它把相似用户聚为一类并复制他们的评分",
        "它在已观察到的评分上训练一个神经网络"
      ],
      "correct": 1,
      "explanation": "SVD 把评分矩阵分解为用户画像（U）、潜在因子重要性（Sigma）和电影画像（V^T）。低秩重构会基于解释用户偏好的潜在因子（类型、年代、风格）填补缺失项。"
    }
  ]
}